Saturday, September 15, 2007

Coisas sem importância III

Vamos lá tentar demonstrar a igualdade da primeira "coisa sem importância".




Relembrando: sabendo que a base (b) de cada um dos triângulos vermelhos é idêntica, pretende-se demonstrar que a área de cada um deles é idêntica e é dada pela expressão:


Vejamos o triângulo rectângulo 2 de base (y + b)

A sua área é:


Se a este valor retirarmos a área do triângulo cinzento ficaremos apenas com a área do triângulo vermelho:








Que é precisamente o que se pretendia demonstrar.

Repare-se como o y desapareceu da “contenda”.

Ssignifica que o raciocínio se aplica qualquer que seja a sua dimensão. Aplica-se portanto aos restantes triângulos 3 e 4 bem como a quaisquer outros que se construam com a mesma base e em que o vértice superior se situe sobre a linha verde de cima: isto é, com a mesma altura.

Thursday, September 13, 2007

Coisas sem importância II

A altura não precisa de ser um dos lados. E a base precisará?

De facto não.



As linhas verdes são paralelas à base e a linha cinzenta, perpendicular aquelas, é a altura.


Será a área do triângulo vermelho igual a:


a x b
------
2

?!?!?

Se a igualdade dos triângulos do post anterior se verificar (o que falta provar) então podemos "dar um jeito" a este triângulo.

Assim:

E passamos a ter o triângulo vermelho dividido em dois triângulos rectângulos cuja área será respectivamente:
a1 x b   a2 x b
------
e
------
2       2

sendo a1 e a2 paralelos a a


a1 + a2 = a


>
então


(a1 x b) (a2 x b)  (a1 + a2) x b   a x b
------- + ------- = ------------- = -----
2         2             2         2


Só falta verificar a igualdade do post anterior.

Friday, September 07, 2007

Coisas sem importância

Muita gente sabe que a área de um triângulo é metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Talvez menos gente saberá que isto é assim "porque" a área de um rectângulo é o produto da medida da base pela medida da altura E um triângulo é metade daquilo.

É exactamente assim que nos explicam na escola.

Não está mal mas podia estar melhor. É que fica-nos estampado na memória o triângulo rectângulo; ou seja, a base e a altura SÃO dois dos seus lados.

Acontece que, para simplificar, a altura não precisa se ser um dos lados.



Se a base destes triângulos for idêntica E aquelas duas linhas vermelhas paralelas, a área dos quatro é idêntica.

Será??

Wednesday, July 11, 2007

As aparências iludem

12 ou 13 pessoas?

Olhe para a imagem e conte o número de pessoas. Espere a imagem se deslocar e conte novamente.

Sim, 12 pessoas. Sim, 13 pessoas.

Consegue-me explicar como é que "surge" uma pessoa, já que a imagem é apenas deslocada?




A "coisa" explica-se facilmente.

Vamos fazer um adaptação bastante simplista.

Imaginemos UMA cara apenas (só a cara); se a cortarmos a meio e separarmos as duas metades ficamos com DUAS caras.



É este o princípio.

Na imagem do problema original, a separação fica quase imperceptível porque se trata de 12 imagens em vez de apenas uma e os cortes são efectuados cada vez mais abaixo (ou acima) de forma a que a união/separação seja imperceptível.

Algumas conclusões:

- quando estão 13, os bonecos são TODOS mais baixinhos do que quando estão 12.
- a soma das alturas dos 12 bonecos é igual à soma das alturas dos 13.

Tuesday, January 02, 2007

Que sorte ...

Parece que, no que toca a sextas-feiras 13, não há nenhum mês particularmente bafejado.

Parece também que a espera média pela próxima sexta-feira 13 é de aproximadamente 212 dias e 8 horas.

Por sorte, quase tudo o que tenha dito ou possa dizer sobre sextas-feiras 13, aplica-se também a, digamos: domingos 7, ou quartas 21, ou qualquer outra combinação de dia da semana dia de mês.

O que falta a quase tudo para ser tudo não se explica com a matemática.