Novamente os cubos

Duas imagens relacionadas uma com a outra, como está bom de ver, e com o post Recursividade lá mais para baixo.

Mais de um ano depois, há coisas que não nos saem da cabeça.

Metamorfose do Cubo

A matemática explica tudo?

Andava eu por Odeceixe a fazer horas para a janta quando dou com um objecto que a foto ao lado procura mostrar, numa lojinha de artesanato.

O dito é um calendário construído em madeira composto por 3 paralelepípedos para indicar o mês e 2 cubos para indicar o dia do mês.

À primeira vista é um objecto simples e de fácil construção.

Mas nem tudo o que parece é. Um doce a quem ...

Dízimas infinitas

As dízimas infinitas periódicas não são numeros irracionais; isto é, há uma divisão de inteiros equivalente.

Por exemplo:

Aquele (3) indica que o dígito 3 se repete indefinidamente. Não é 0.3 nem 0.33333 nem 0.3333333333333333333333 nem sequer 0. seguido de um trilião de 3. É um número infinito de 3.

É óbvio que cada um destes 3 que se acrescenta é uma "quantidade" mais pequena, exactamente um décimo do 3 anterior. Se pensarmos nisto, podemos ser levados a pensar que o trilionésimo 3 é uma "quantidade" tão pequena que se pode desprezar. Nada mais errado.

Cada um destes infinitos 3 é necessário e nenhum pode ser esquecido.

É óbvio que:

Então, se:

isto é:

Se não se esquecer nenhum daqueles infinitos 3, isto é de facto verdade.

Recursividade

Não é lindo??

Números "normais" e outros nem tanto

Há números racionais, irracionais e complexos, basicamente.

Racionais, são números que podem ser expressos com uma razão, uma divisão. Por exemplo, 0.25 pode ser representado como a divisão:

Irracionais, são números que não podem ser expressos através de uma razão. Por exemplo Pi, ou a raíz quadrada de 2:

Complexos são números mais estranhos. Um número complexo, por incrível que pareça, é um número que elevado ao quadrado (multiplicado por si mesmo) resulta num número negativo.


Se pensarmos que o quadrado de qualquer número "é" sempre um número positivo, já se vê a estranheza:


Isto é: não há nenhum número que elevado ao quadrado resulte num número negativo?!?!?!


Há sim senhor; e esse "anormal" do caraças é o i.


Ou seja:

Coisas sem importância III

Vamos lá tentar demonstrar a igualdade da primeira "coisa sem importância".

Relembrando: sabendo que a base (b) de cada um dos triângulos vermelhos é idêntica, pretende-se demonstrar que a área de cada um deles é idêntica e é dada pela expressão:

Vejamos o triângulo rectângulo 2 de base (y + b)

A sua área é:

Se a este valor retirarmos a área do triângulo cinzento ficaremos apenas com a área do triângulo vermelho:

Que é precisamente o que se pretendia demonstrar.

Repare-se como o y desapareceu da “contenda”.

Ssignifica que o raciocínio se aplica qualquer que seja a sua dimensão. Aplica-se portanto aos restantes triângulos 3 e 4 bem como a quaisquer outros que se construam com a mesma base e em que o vértice superior se situe sobre a linha verde de cima: isto é, com a mesma altura.