Dízimas infinitas

As dízimas infinitas periódicas não são numeros irracionais; isto é, há uma divisão de inteiros equivalente.

Por exemplo:

Aquele (3) indica que o dígito 3 se repete indefinidamente. Não é 0.3 nem 0.33333 nem 0.3333333333333333333333 nem sequer 0. seguido de um trilião de 3. É um número infinito de 3.

É óbvio que cada um destes 3 que se acrescenta é uma "quantidade" mais pequena, exactamente um décimo do 3 anterior. Se pensarmos nisto, podemos ser levados a pensar que o trilionésimo 3 é uma "quantidade" tão pequena que se pode desprezar. Nada mais errado.

Cada um destes infinitos 3 é necessário e nenhum pode ser esquecido.

É óbvio que:

Então, se:

isto é:

Se não se esquecer nenhum daqueles infinitos 3, isto é de facto verdade.

Recursividade

Não é lindo??

Números "normais" e outros nem tanto

Há números racionais, irracionais e complexos, basicamente.

Racionais, são números que podem ser expressos com uma razão, uma divisão. Por exemplo, 0.25 pode ser representado como a divisão:

Irracionais, são números que não podem ser expressos através de uma razão. Por exemplo Pi, ou a raíz quadrada de 2:

Complexos são números mais estranhos. Um número complexo, por incrível que pareça, é um número que elevado ao quadrado (multiplicado por si mesmo) resulta num número negativo.


Se pensarmos que o quadrado de qualquer número "é" sempre um número positivo, já se vê a estranheza:


Isto é: não há nenhum número que elevado ao quadrado resulte num número negativo?!?!?!


Há sim senhor; e esse "anormal" do caraças é o i.


Ou seja:

Coisas sem importância III

Vamos lá tentar demonstrar a igualdade da primeira "coisa sem importância".

Relembrando: sabendo que a base (b) de cada um dos triângulos vermelhos é idêntica, pretende-se demonstrar que a área de cada um deles é idêntica e é dada pela expressão:

Vejamos o triângulo rectângulo 2 de base (y + b)

A sua área é:

Se a este valor retirarmos a área do triângulo cinzento ficaremos apenas com a área do triângulo vermelho:

Que é precisamente o que se pretendia demonstrar.

Repare-se como o y desapareceu da “contenda”.

Ssignifica que o raciocínio se aplica qualquer que seja a sua dimensão. Aplica-se portanto aos restantes triângulos 3 e 4 bem como a quaisquer outros que se construam com a mesma base e em que o vértice superior se situe sobre a linha verde de cima: isto é, com a mesma altura.

Coisas sem importância II

A altura não precisa de ser um dos lados. E a base precisará?

De facto não.

As linhas verdes são paralelas à base e a linha cinzenta, perpendicular aquelas, é a altura.

Será a área do triângulo vermelho igual a:

a x b
------

2

?!?!?

Se a igualdade dos triângulos do post anterior se verificar (o que falta provar) então podemos "dar um jeito" a este triângulo.

Assim:

E passamos a ter o triângulo vermelho dividido em dois triângulos rectângulos cuja área será respectivamente:

a1 x b   a2 x b
------ e ------
2       2

sendo a1 e a2 paralelos a a

a1 + a2 = a

>

então

(a1 x b) (a2 x b)  (a1 + a2) x b   a x b
------- + ------- = ------------- = -----
2         2             2         2

Só falta verificar a igualdade do post anterior.

Coisas sem importância

Muita gente sabe que a área de um triângulo é metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Talvez menos gente saberá que isto é assim "porque" a área de um rectângulo é o produto da medida da base pela medida da altura E um triângulo é metade daquilo.

É exactamente assim que nos explicam na escola.

Não está mal mas podia estar melhor. É que fica-nos estampado na memória o triângulo rectângulo; ou seja, a base e a altura SÃO dois dos seus lados.

Acontece que, para simplificar, a altura não precisa se ser um dos lados.

Se a base destes triângulos for idêntica E aquelas duas linhas vermelhas paralelas, a área dos quatro é idêntica.

Será??

As aparências iludem

12 ou 13 pessoas?

Olhe para a imagem e conte o número de pessoas. Espere a imagem se deslocar e conte novamente.

Sim, 12 pessoas. Sim, 13 pessoas.

Consegue-me explicar como é que "surge" uma pessoa, já que a imagem é apenas deslocada?



A "coisa" explica-se facilmente.

Vamos fazer um adaptação bastante simplista.

Imaginemos UMA cara apenas (só a cara); se a cortarmos a meio e separarmos as duas metades ficamos com DUAS caras.



É este o princípio.

Na imagem do problema original, a separação fica quase imperceptível porque se trata de 12 imagens em vez de apenas uma e os cortes são efectuados cada vez mais abaixo (ou acima) de forma a que a união/separação seja imperceptível.

Algumas conclusões:

- quando estão 13, os bonecos são TODOS mais baixinhos do que quando estão 12.
- a soma das alturas dos 12 bonecos é igual à soma das alturas dos 13.

Que sorte ...

Parece que, no que toca a sextas-feiras 13, não há nenhum mês particularmente bafejado.

Parece também que a espera média pela próxima sexta-feira 13 é de aproximadamente 212 dias e 8 horas.

Por sorte, quase tudo o que tenha dito ou possa dizer sobre sextas-feiras 13, aplica-se também a, digamos: domingos 7, ou quartas 21, ou qualquer outra combinação de dia da semana dia de mês.

O que falta a quase tudo para ser tudo não se explica com a matemática.

Padrões

Os padrões são algo muito importante na vida das pessoas e das coisas; algo/alguém com que/quem se possa contar motiva, impele, garante.

Numa esfera mais prática eles, os padrões, estão por todo o lado: desde os ZIP (sim, sim, esses ficheirinhos comprimidos), MP3 e JPG até às efemérides: a Páscoa, o Natal, o aniversário, etc.

Enfim, pensamentos de fim de ano.

Naquela última categoria, das efemérides, aparece uma com caracteristicas curiosas: a sexta-feira 13.

É sabido que nem todos os dias 13 são sextas-feiras mas quando o são, algo de especial acontece (e nem tem nada que ver com azares ou sortes).

E depois de uma, é sempre motivo de especial frenezi “a próxima” sexta-feira 13: quando será?

Assim, deu-me para fazer umas contas e verificam-se coisas interessantes quanto a esta intrigante data e o seu padrão de repetição.

Por exemplo:

A próxima sexta-feira 13 é no mês de Abril de 2007 e a seguinte é no mês de Julho do mesmo ano.

Esta mesma sequência (Abril/Julho) volta a acontecer no ano 2012.

2012 é aliás um ano curioso. Para além de ter 3(!!!) desses dias: em Janeiro, Abril de Julho o seguinte só acontece mais de um ano depois, no dia 13 de Setembro de 2013. 427 dias para descansar de "3 seguidas".

Há anos especialmente fartos. 2009 é um deles com 3 sextas-feiras 13 no seu decurso, tal como 2012, 2015, 2026 e muitos outros.

(Desenganem-se; aparentemente não há nenhum ano com 4 desses dias mágicos).

Quanto a padrões, e a uma primeira vista, a sequência parece repetir-se a cada 28 anos. Verifica-se por exemplo que a sequência iniciada no dia 13 de Fevereiro de 2009 volta repetir-se a partir de 13 de Fevereiro de 2037 e novamente a partir de 13 de Fevereiro de 2065.

Mas, a partir de 13 de Fevereiro de 2093, a sequência apenas se mantém até 13 de Novembro de 2099 e isto deve-se ao facto de o ano 2100 interromper o padrão de 4 anos da “bisextualidade” dos anos. Azar.

Ora portanto, o padrão de 28 anos é falso. De quantos anos será? Tenho a impressão de que será de 400 anos. A ser verdade é muito tempo mas sempre se sabe com o que se conta.

Enfim. Se isto tem ligação com outra coisa qualquer não faço a mais pequena ideia, mas não rejeito a hipótese de numa próxima oportunidade procurar encontrar que razoáveis razões estarão por detrás disto do azar.

Aos interessados por este tipo de coisas importantes, a lista de todas as sextas-feiras 13 até 13 de Agosto de 9999 encontra-se aqui e pode ser um divertimento; um outro tipo de divertimento mas ainda assim divertimento.

A diferença entre dois palíndromos numéricos consecutivos pode ser:

             n                  n
2, 10, 11*10

Palíndromos

Um palíndromo (ou capicua como dizia o meu pai) é uma palavra ou número que se lê da mesma forma da direita para a esquerda e da esquerda para a direita.

Alguns exemplos:

10233201

ramar

Há uma curiosidade interessante à volta de palíndromos numéricos, descrita no livro "Fascínios da Matemática" de Theoni Pappas, edição Editora Replicação.

A ideia é começar por um número inteiro qualquer e adicionar-lhe o número formado pelos mesmos algarismos dispostos por ordem inversa.

A esta soma, adicionar o número formado pelos seus algarismos dispostos por ordem inversa.

... e assim sucessivamente até que a soma seja um palíndromo.

Exemplo:

    1284

  + 4821

 -------

    6105

  + 5016

 -------

   11121

 + 12111

 -------

   23232

Partindo de 1284, ao final de 3 somas chegamos a um palíndromo.

O livro pergunta: "Será que se chega sempre a um palíndromo?"

Deu-me para procurar e cheguei a alguns resultados interessantes.

Partindo de 89 só ao final de 24(!!!) somas se chega a um palíndromo, o número:

8813200023188

Partindo de 10911 só a fim de 55 e o palíndromo é ainda mais impressionante:

4668731596684224866951378664

Partindo de 196, o processo já vai em 63000 somas, o resultado já é um número com 26200 algarismos e ainda não surgiu qualquer palíndromo.

As aparências iludem.